Većina pojava u prirodi nije potpuno slučajna već se uočavaju neke zavisnosti i uslovljenosti. Vezu između nas i prirode predstavljaju naša čula kao i merni instrumenti. Ni jedni ni drugi nisu savršeni i naša opažanja i merenja najčešće sadrže odstupanja od stvarnosti koja se mogu samo proceniti i ograničiti ali ne i potpuno eliminisati.
Nastanak Numeričke matematike i optimizacije proistekao je iz sveta oko nas koji neprestano postavlja razne matematičke izazove i probleme. U modernom društvu gde se razvijaju ekonomija, industrija, medicina, nebeska mehanika, robotika, IT inženjering i slično, numerička matematika i optimizacija su alatke za rad. Ono sto čini temelj na kome se razvijaju ove discipine je tzv. matematičko modeliranje.
Proces matematičkog modeliranja uključuje identifikaciju problema, matematičku formulaciju, tj. formiranje jednačine ili sistema jednačina koji opisuju ponašanje sistema. Kada su u pitanju kompleksni sistemi, matematički model formiraju stručnjaci iz drugih naučnih oblasti: fizičari, hemičari, biolozi, ekonomisti, inženjeri… Cilj je prepoznati sve veličine koje su relevantne za rešavanje konkretnog problema i uočiti odnose među njima. Tako dobijeni „apstrahovani“ model je potrebno zapisati matematički, tj. definisati promenljive koje će predstavljati relevantne veličine, kao i skup matematičkih formula koji definiše veze među njima. Zadatak primenjenog matematičara (poznavaoca numeričke matematike i optimizacije) je da izvrši matematičko-numeričku analizu kojom se određuje najefikasnija numerička metoda za rešavanje matematičkog modela. U uskoj vezi sa tim je implementacija numeričkih metoda na računarima što omogućava neophodna izračunavanja, čime dobijamo numeričko rešenje datog modela. Kada dobijemo rešenje matematičkog problema, neophodno je interpretirati dobijene rezultate, vratiti se nazad u realan svet i proveriti valjanost dobijenog rešenja. Možda će nam priroda reći da smo negde pogrešili i postaviti smernice za dalje usavršavanje matematičkog modela.
Dobar matematički model je po pravilu složen, pa zahteva dobro poznavanje i rad sa određenim numeričkim softverima. Nakon izrade matematičkog modela i dobijanja numeričkog rešenja otvaraju se i mogućnosti za simulacije. Simulacija predstavlja izvršavanje operacija na modelu sistema u cilju dobijanja željenih saznanja o ponašanju istog. To se radi preko simulacionih softvera koje karakteriše korisnički orijentisan grafički interfejs, uglavnom jednostavan za rad. Oni dozvoljavaju izmenu parametara i komponenti modela i daju pregledne rezultate u vidu grafika, tabela i slično.
Prednosti matematičkog modela u odnosu na klasični eksperiment su brojne. Eksperimente je ponekad nemoguće realizovati, na primer u
- klimatologiji – proučavanje morskih struja i vetrova,
- ekonomiji – istraživanje razvoja tržišta,
- medicini – pravljenje novih materijala za implante, planiranje operacija.
S druge strane, eksperimenti su često nepoželjni, na primer u
- radu sa radioaktivnim materijalom,
- ispitivanju stabilnosti građevina,
- proučavanju elementarnih nepogoda.
Eksperimenti mogu biti skupi i dugotrajni, na primer u svrhu proučavanja
- uticaja zračenja na genetski materijal,
- kristalnih struktura i makromolekula,
- turbulencije u vazdušnom tunelu, u aerodinamici,
- ponašanja automobila pri sudaru, u autoindustriji.
Jasno je da se, gore pomenuti problemi, mogu rešiti jedino primenom numeričke matematike, koja će ponuditi adekvatne numeričke metode rešavanja problema ujedno sa procenom greške.
Neki od nebrojano mnogo problema koje, nakon uspešno postavljenog matematičkog modela, rešava optimizacija su sledeći:
- problem izbora borbenih strategija i sredstava u vojsci,
- problem određivanja lokacija za izgradnju škola, bolnica, skladišta, industrijskih postrojenja, autobuskih stanica, aerodroma, tržnih centara i sličnih javnih objekata,
- dizajniranje transportnih mreža: železničkih i drumskih sistema, poštanskih mreža, sistema brze isporuke, prevoza putnika i robe u avio saobraćaju,
- problem pakovanja proizvoda.
U sledećim primerima ilustrujemo neke formulacije problema koje možemo da rešimo pomoću varijacionog računa i optimalnog upravljanja:
- optimalno vreme putovanja svetlosti,
- optimalna trajektorija broda ili aviona,
- maksimizacija profita kompanije,
Za modeliranje velikog broja problema tzv. diskretne optimizacije koriste se grafovi, strukture predstavljene skupom čvorova i skupom grana.
U realnim primenama čvorovi predstavljaju objekte (geografske lokacije, delove organizacionog sistema, osobe ili grupe osoba), dok je granama označeno postojanje neke relacije među njima. U zavisnosti od situacije, grane mogu predstavljati geografsku povezanost, komunikacioni kanal, postojanje rodbinskih veza među osobama, mogućnost transfera robe među lokacijama i slično.
Grafovi se pojavljuju u mnogim naučnim disciplinama. Posebno veliki značaj imaju u elektrotehnici i računarstvu pri konstrukciji računarskih i telekomunikacionih mreža, organizaciji i zaštiti podataka, predstavljanju električnih šema, analizi slika i prepoznavanju oblika i drugo. Ne bi bilo osnovano pričati o matematičkim modelima, numeričkoj matematici i optimizaciji a da se zaobiđe veoma važno, i sa njima usko povezano, polje teorije grafova.
U poslednje vreme grafovi se sve više koriste i u rešavanju bioloških i socioloških problema (sprečavanje širenja virusnih infekcija, pojačavanje pozitivnog uticaja na društvenim mrežama…). Teorija grafova obuhvata i kreiranje algoritama za analizu grafova u cilju boljeg razumevanja postojećih veza među entitetima i prepoznavanja skrivenih šablona u modelovanom sistemu.
Pronalaženje najkraćih putanja, dominantnih skupova, jako povezanih komponenti, samo su neki od zadataka značajnih za analizu grafova.
Postoji dosta softverskih alata koji olaksavaju rad sa grafovima i njihovim uopštenjima. Jedan od njih, nazvan GraphEbra, razvijen je od strane clanova nase Katedre.