Na Katedri za numerčku matematiku i optimizaciju sreću se sledeće oblasti istraživanja:

Metaheuristike

Brojni problemi koji se sreću u savremenom životu mogu se formulisati kao problemi optimizacije. Njihovo rešavanje je od velikog značaja za efikasnije funkcionisanje realnih sistema. Na primer, kada je u pitanju privreda, ušteda resursa ili smanjenje troškova direktno utiče na povećanje profitabilnosti preduzeća. Iz tog razloga, razvoj modela i adekvatnih metoda za rešavanje širokog spektra problema optimizacije je od velikog praktičnog značaja, a interesovanje istraživača za ovu oblast konstantno raste, što se ogleda u broju publikovanih radova koji se bave problemima optimizacije.

Metode optimizacije se mogu podeliti u dve velike klase: egzaktne i približne. Egzaktne metode garantuju optimalnost, ali su dosta zahtevne kada je u pitanju vreme izvršavanja, dok približne metode u kratkom vremenu izvršavanja mogu dati rešenja  problema sa određenom tačnošću. Mnogi problemi optimizacije (naročito diskretne i globalne optimizacije) su eksponencijalne složenosti, tj. spadaju u klasu NP teških problema. Za ovakve probleme se egzaktne metode rešavanja mogu uspešno primeniti samo na probleme malih dimenzija, dok je za velike dimenzije to praktično nedostižno. Neretko egzaktne metode ne uspevaju da nađu čak ni dopustivo rešenje problema, te je razvoj i implementacija adekvatnih približnih metoda od velikog praktičnog značaja. Razvoj računara je omogućio da se rešavaju mnogi problemi približnim metodama sa zadovoljavajućom tačnošću.

Metaheuristike su jedna od klasa približnih metoda optimizacije, koje su zasnovane na efikasnim procedurama za nalaženje visokokvalitetnih (po mogućnosti optimalnih) rešenja razmatranog problema. Osnovna prednost metaheuristika je što preko konačnog skupa koraka vode ka dobrim rešenjima problema za relativno kratko vreme. Metaheuristike su zasnovane na opštim principima, što omogućava njihovu primenu na veći broj optimizacionih problema. One često dostižu optimalna rešenja problema na koji se primenjuju, ali njihov nedostatak je u tome što se optimalnost ne može dokazati. Kako su metaheuristike najefikasniji, a često i jedini način za rešavanje problema optimizacije velikih dimenzija, pridaje se puno pažnje njihovom razvoju i usavršavanju.

Naučno-istraživački rad na Katedri u ovoj oblasti je usmeren ka rešavanju diskretnih optimizacionih problema, optimizaciji na grafovima, kao i kontinualnoj globalnoj optimizaciji kada veliki broj lokalnih optimuma čini ove probleme teškim za rešavanje. Najviše korišćene metaheuristike u istraživanjima su Genetski algoritmi, Metoda promenljivih okolina i njene varijante, GRASP, optimizacija rojem čestica, optimizacija kolonijom pčela, itd. Takođe, istraživanja obuhvataju kombinovanje (hibridizaciju) egzaktnih metoda sa metaheuristikama, kao i kombinovanje dve ili više metaheurističkih metoda metodama u vidu hibridnih metaheuristika.

Metaheuristike na Katedri izučavaju i primenjuju prof. dr Zorica Stanimirović, prof. dr Milan Dražić, prof. dr Aleksandar Savić, dr Zorica Dražić i Kristina Kostić.

Istraživački radovi iz ove oblasti su godinama unazad podržani od strane Ministarstva prosvete, nauke i tehnološkog razvoja, u okviru više projektnih ciklusa: projekat br. 174010 Matematički modeli i metode optimizacije velikih sistema (2011-2019), projekat br. 144007, Matematički modeli i metode optimizacije sa primenama (2006-2010), projekat br. 1583, Matematički modeli i metode optimizacije sa primenama (2002-2005),…

Spektralna teorija grafova

U okviru spektralne teorije grafova izučavaju se svojstva grafova kroz prizmu njihovih spektara, karakterističnih polinoma i sopstvenih prostora. Prednost ovakvog pristupa ogleda se u činjenici da je spektar grafa izračunljiv u polinomijalnom vremenu, dok mnoge strukturne invarijante nisu.

Naučno-istraživački rad u ovoj oblasti usmeren je ka izučavanju spektara regularnih grafova, bipartitnih grafova i grafova sa specifičnim strukturnim svojstvima. Posebno se izučavaju grafovi sa relativno malim ili velikim brojem sopstvenih vrednosti  kao i spektri orijentisanih grafova, označenih grafova i hipergrafova. Jedan segment istraživanja orijentisan je ka primenama ove teorije u računarstvu, hemiji, teoriji upravljanja i srodnim disciplinama.

U sklopu istraživanja postoji plodna internacionalna saradnja koja uključuje istraživačke posete univerzitetima u Nemačkoj i Portugalu, učešća na velikom broju naučnih skupova, kao i saradnju sa više od 30 istraživača iz više od 15 zemalja.

Nastavnik koji se bavi ovom oblašću je prof. dr Zoran Stanić.

Istraživački rad iz ove oblasti podržan je od strane Ministarstva prosvete, nauke i tehnološkog razvoja u okviru nekoliko naučnih projekata i od strane nekoliko inostranih naučnih institucija. Spisak projekata može se pronaći na sledećoj stranici.

Kombinatorna optimizacija

Kombinatorna optimizacija je matematička disciplina koja proučava probleme nalaženja ekstremnih vrednosti funkcije definisane na diskretnom skupu. Za zadati konačan ili prebrojivo beskonačan diskretan skup i zadatu funkciju, zadatak je pronaći minimum funkcije na tom skupu. Na ovaj način se može predstaviti niz problema u različitim oblastima. U matematici se mogu modelirati problemi u kombinatorici, teoriji grafova, logici. Važne primene su i u oblasti upravljanja resursima, upravljanja proizvodnjom, problemima raspoređivanja, lokacijskim problemima itd. U poslednje vreme kombinatorna optimizacija je korisna za proučavanje algoritama sa posebnim značajem za veštačku inteligenciju, mašinsko učenje, operaciona istraživanja i računarske mreže.  Najpoznatiji primer problema kombinatorne optimizacije je Problem trgovačkog putnika.

Za probleme kombinatorne optimizacije sa konačnim skupom uvek postoje algoritmi potpune pretrage, ali ukoliko je broj elemenata posmatranog skupa veliki, potpunu pretragu je nemoguće primeniti. U tom slučaju moraju se primeniti specijalizovani algoritmi ili različiti algoritmi aproksimacije. Iz perspektive računarstva, kombinatorna optimizacija nastoji da poboljša algoritam korišćenjem matematičkih metoda ili da smanji veličinu posmatranog skupa ili da ubrza samu pretragu. Cilj kombinatorne optimizacije je formiranje efikasnih algoritama za rešavanje složenih problema. Ukoliko za dati problem ne postoji efikasna egzaktna metoda, pristupa se približnom rešavanju pomoću odgovarajućih približnih metoda (aproksimativni algoritmi, heurstike, metaheuristike).

Istraživački rad u ovoj oblasti obuhvata analiziranje konkretnih problema iz prakse, formulisanje novih ili unapređenje postojećih matematičkih modela koji adekvatno opisuju razmatrani problem, dizajn i implementacija egzaktnih, približnih ili hibridnih metoda za njegovo efikasno rešavanje.

Istraživački radovi iz ove oblasti su godinama unazad podržani od strane Ministarstva prosvete, nauke i tehnološkog razvoja, u okviru više projektnih ciklusa: projekat br. 174033 Teorija grafova i matematičko programiranje sa primenama u hemiji i računarstvu (2011-2019), projekat br. 174010 Matematički modeli i metode optimizacije velikih sistema, (2011-2019), projekat br 144015 Teorija grafova i matematičko programiranje sa primenama u hemiji i tehničkim naukama (2006-2010), projekat br. 144007  Matematički modeli i metode optimizacije sa primenama (2006-2010), projekat br. 1583  Matematički modeli i metode optimizacije sa primenama (2002-2005).

Nastavnici koji se bavi ovom oblašću su prof. dr Zorica Stanimirović, prof. dr Zoran Stanić, prof. dr Milan Dražić, prof. dr Aleksandar Savić, dr Zorica Dražić i Kristina Kostić.

Numeričke metode za rešavanje parcijalnih diferencijalnih jednačina

Parcijalne diferencijalne jednačine su sveprisutne u matematički orijentisanim naučnim oblastima kao što su fizika i inžinjerstvo. Tim jednačinama se matematički opisuju prirodni procesi tako da njihova rešenja imaju fizički smisao. Na primer, one su osnov za savremeno proučavanje prostiranja zvuka i toplote, za opisivanje difuzije, elektromagnetizma, elektrostatitike, dinamike fluida i slično. Samo se u veoma jednostavnim slučajevima njihova rešenja mogu naći eksplicitno pa su numeričke metode glavni alat za njihovo rešavanje. Najčešće se proučavaju početno-granični problemi za ove jednačine. Osim njih, veliku pažnju privlače i parcijalne diferencijalne jednačine sa izvodima razlomljenog reda. Bavljene takvim jednačinama zahteva poznavanje osnova teorije frakcionog računa. Izvodi razlomljenog reda su operatori nelokalnog karaktera pa se jednačinama u kojima oni figurišu opisuju procesi sa memorijskim efektom što je karakteristično za viskoelastične materijale i anomalne difuzione procese.

Naučno-istraživački rad u ovoj oblasti je usmeren na analizu i aproskimaciju običnih i frakcionih parcijalnih diferencijalnih jednačina, sa i bez interfejsa (singularni koeficijenti i transmisioni problemi). Analiza obuhvata ispitivanje osobina analitičkog rešenja i apriorne ocene u odgovarajućim funkcionalnim prostorima tipa Soboljeva. Aproksimacija se radi metodom konačnih razlika. Ispituje se stabilnost, konvergencija i ocenjuje brzina predloženih diferencijskih shema u zavisnosti od glatkosti ulaznih podataka.

Nastavnici i asistenti koje se bave ovim oblastima su dr Aleksandra Delić, dr Sandra Živanović i Jelena Tasić.

Istraživački radovi iz ove oblasti su podržani od strane Ministarstva prosvete, nauke i tehnološkog razvoja, u okviru projekta Aproksimacija integralnih i diferencijalnih operatora i primene, 174015.

Optimizacija u funkcionalnim prostorima, optimalno upravljanje, konveksna optimizacija

Istraživački rad na Katedri u oblasti optimizacije u funkcionalnim prostorima uglavnom je koncentrisan na istraživanje i dobijanje neophodnih i dovoljnih uslova ekstremuma za različite klase problema optimalnog upravljanja i problema optimizacije sa neprekidnim vremenom sa različitim tipovima faznih ograničenja. Pomenuti problemi matematički opisuju prirodne procese u fizici, mašinstvu, avioindustriji, aeronautici, ekonomiji i robotici. Stoga je to važno polje u savremenim istraživanjima. Takođe, izučavaju se problemi uslovne višekriterijumske optimizacije u funkcionalnim prostorima sa različitim tipovima rešenja uz dodatne pretpostavke konveksnosti i generalizovane konveksnosti. Pored ovoga, istražuju se odgovarajući dualni modeli i metode za pronalaženje rešenja pomenutih problema.

Nastavnik koji se bavi ovom oblašću je dr Aleksandar Jović.

Istraživački radovi iz ove oblasti su podržani od strane Ministarstva prosvete, nauke i tehnološkog razvoja, u okviru projekata: Aproksimacija integralnih i diferencijalnih operatora i primene,174015, Integrability and Extremal Problems in Mechanics, Geometry and Combinatorics, 7744592- MEGIC